Valkuil hoogfrequente tijdreeksmodellering

Modellering van relatief hoog frequente metingen met een eenvoudig ruismodel

Door de introductie van automatische loggers kunnen op uurbasis al grondwaterstanden gemeten worden. We zien veelal dat tijdreeksanalyse wordt uitgevoerd op grondwaterstanden, neerslag- en verdampinggegevens op dagbasis. We beschouwen de tijdreeksmodellering van grondwaterstanden op een relatief kleine tijdsbasis in vergelijking met het grondwaterproces. Bij relatief hoogfrequente grondwaterstandmetingen in vergelijking met de processnelheid is er sprake van een hoge autocorrelatie van bijna één. In het onderstaande bespreken we het fenomeen ‘unit-root’, de valkuil bij hoogfrequente tijdreeksmodellering met een eenvoudig ruismodel.

Voor het uitvoeren van de continue tijdreeksanalyse volgens de PIRFICT-methode wordt het volgende algemene model toegepast:

(1) $\begin{equation*}\begin{align} Z(t) = detmodel(t|\theta)+N(t) \\N(t) = \phi(\Delta t).N(t-\Delta t)+ a(t) \end{align}\end{equation*}$

voor de ruisparameter geldt $\phi$ als functie van $\Delta t$ en $\alpha$ :

(2) $\begin{equation*} \phi(\Delta t) = exp(-\frac 1\alpha.\Delta t )\end{equation*}$

waarin $Z(t)$ de grondwaterstand is op tijdstip $t$ , $detmodel(t|\theta)$ het hydrologische deterministische model met modelparameters $\theta$ , $N(t)$ het ruismodel, $a(t)$ het residu en $\Delta t$ het meetinterval tussen opeenvolgende metingen op tijdstip $t-1$ en $t$ . Het deterministische model is een superpositie van transferfuncties van variabelen, zoals de neerslag, verdamping en onttrekking.

‘Unit root’-probleem

Bij een modellering van grondwaterstanden op een kleine tijdsbasis, met een autocorrelatie van bijna één is bij de PIRFICT-modellering de (afgeleide) modelparameter $\phi(\Delta t)$ ook bijna één. Als we stellen dat $\phi(dt)$ gelijk is aan één dan geldt voor bovenstaande vergelijking [1]:

(3) $\begin{equation*}\begin{align} Z(t) = detmodel(t|\theta)+N(t) \\N(t) = N(t-\Delta t)+ a(t) \end{align}\end{equation*}$

Door N(t), N(t-1), … uit te schrijven ( $\Delta t$ =1) geldt voor (3):

(4) $\begin{equation*}\begin{align} Z(t) = detmodel(t|\theta)+\sum _{i=1}^{t} {a(i)}\end{align}\end{equation*}$

We mogen veronderstellen dat het residu $a(t)$ voor verschillende waarden voor $t$ niet negatief gecorreleerd zijn en dan geldt:

(5) $\begin{equation*}\begin{align} var(\sum_{i=1}^{t}{a(i)}) >= \sum _{i=1}^{t} {var(a(i))} = t.var(a)\end{align}\end{equation*}$

Dit soort modellen hebben een oneindig grote variantie voor $t$ naar oneindig en genereren dus niet-stationaire voorspellingen. Het is een bekend fenomeen in de tijdreeksanalyse en wordt het ‘unit root’-probleem genoemd en men spreekt daarbij over random-walk modellen. Vanwege de autocorrelatie van de innovaties – het ‘>=’-teken in vergelijking [5] – speelt ook bij een ruisfactor van bijna één het ‘unit-root’-probleem.

***Figuur 1: Voorbeeld van een random-walk proces met 10 simulaties met een tijdreeksmodel voor GWS met neerslag en verdamping, beide op dagbasis en met een ruisfactor van bijna één***.

De ruis is gecorreleerd met de grondwaterstanden

Bij grote autocorrelatie van de grondwaterstanden en een ruisfactor $\phi(\Delta t)$ van bijna 1 is de ruis $N(t)$ gecorreleerd met de grondwaterstanden $Z(t)$ . De ruis beschrijft een groot deel van het grondwaterproces. De modelfit, de pasvorm van het model, wordt dus deels bepaald door het ruismodel. De deterministische modelkeuze met een voorgedefinieerde transferfunctie is daarentegen bepalend voor de uitkomsten van de tijdreeksmodellering. De modelfit is prima, de uitkomsten lijken plausibel, maar wat is nog de bijdrage van deterministische model? De onderstaande figuur toont de goede modelfit, maar de modelruis heeft hetzelfde patroon als de gemeten grondwaterstanden en daarmee kan er weinig waarde toegekend worden aan het deterministische model en de bijbehorende decompositie.

Figuur 2: Voorbeeld van hetzelfde tijdreeksmodel als in figuur 1. De tijdreeks van de ruis lijkt op die van de grondwaterstanden met een correlatie van 0.8. Het ogenschijnlijk plausibele deterministische model kan sterk verbeterd worden.

*`Figuur 3: Bijbehorende decompositie van de effecten van de neerslag en de verdamping van het model.`*

Samenvattend

Bij hoogfrequente tijdreeksmodellering met een eenvoudig ruismodel met een ruisfactor van bijna één speelt het ‘unit root’-probleem en is de ruis gecorreleerd met de uitvoervariabele. De modelresultaten lijken plausibel, maar dit is ongeacht de keuze van het deterministische modeldeel. Een voorbeeld van een tijdreeksmodellering waar een unit-root probleem speelt, is issue152. Tevens wordt aangetoond dat bij een modellering op dagbasis met een noise_alpha>=10 er al sprake is van onzuivere schattingen van modelparameters en hun varianties. Zie ook de De wezenlijke verschillen tussen de PIRFICT- en de BJTR-methode

Vanwege de grootte van de correlatie van de ruis met de grondwaterstanden voldoen de modelresiduen of innovaties niet aan de voorwaarden van witte ruis en daarmee kunnen met deze hoogfrequente tijdreeksmodellen geen betrouwbaarheden van de parameters en relaties en onzekerheden van voorspellingen goed geschat worden.

Ons advies is kies een uitgebreid ruismodel of een tijdsbasis in de tijdreeksmodellen die past bij de processnelheid en voer modelverificatie uit op innovaties en ruis (met toetsen op normaliteit en autocorrelatie), zie de voorgestelde werkprocedure voor het verbeteren van de zeggingskracht van de hydrologische tijdreeksanalyse. Tijdreeksanalist bevat een uitgebreide ruismodellering en de parameterschattingsroutine genereert zuivere schattingen voor de modelparameters en hun covariantiematrix.

Valkuil hoogfrequente tijdreeksmodellering

Icastat

Laatst toegevoegd

Categorieën