Is EVP percentage verklaarde variantie?

Zijn EVP en R² bruikbare beoordelingsmaten bij tijdreeksanalyse?

Bij de PIRFICT-methode is de EVP (explained variance percentage) een belangrijke maat voor de modelbeoordeling. Maar is de EVP wel het percentage verklaarde variantie? Beschouw het volgende algemene tijdreeksmodel (zonder een ruismodel):

(1) $\begin{equation*}\begin{align} Z(t) = detmodel(t|\theta)+N(t) \end{align}\end{equation*}$

waarin $Z(t)$ de grondwaterstand is op tijdstip $t$ , $detmodel(t|\theta)$ het deterministische modeldeel met modelparameters $\theta$ , $N(t)$ de ruis (residuals genoemd bij de PIRFICT-methode).

De EVP is bij de PIRFICT-methode als volgt gedefinieerd:

(2) $\begin{equation*}\begin{align} EVP = 1-var(N(t))/var(Z(t) \end{align}\end{equation*}$

Nu geldt voor de variantie van de grondwaterstanden $Z(t)$ :

(3) $\begin{equation*}\begin{align} var(Z(t)) = var(detmodel(t|\theta)+N(t) ) \end{align}\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}\begin{align} var(Z(t)) = var(detmodel(t|\theta))+var(N(t)) \\+2.covar(detmodel(t|\theta),N(t))\end{align}\end{equation*}$

De verklaarde variantie door het deterministische model $detmodel(t|\theta)$ is:

(5) $\begin{equation*}\begin{align} var(detmodel(t|\theta))/var(Z(t)) \end{align}\end{equation*}$

(6) $\begin{equation*}\begin{align} = 1-var(N(t))/var(Z(t)) - 2.covar(detmodel(t|\theta),N(t))/var(Z(t))\end{align}\end{equation*}$

(7) $\begin{equation*}\begin{align}\boxed {Verkl. Variantie = EVP -2.covar(detmodel(t|\theta),N(t))/var(Z(t))}\end{align}\end{equation*}$

Een misvatting van de PIRFICT-tijdreeksmodellering is dat de EVP het percentage verklaarde variantie is van het model. De EVP is alleen gelijk aan het percentage verklaarde variantie als $N(t)$ niet gecorreleerd is aan het deterministische modeldeel $detmodel$ , maar dergelijke correlaties/covarianties treden vaak juist wél op bij een PIRFICT-tijdreeksmodellering! Zeker, als het gaat om hoogfrequente tijdreeksanalyse.

De R² (determinatiecoëfficiënt) is een vergelijkbare maat als de EVP. De waarde van R² is gelijk aan EVP als het gemiddelde van $N(t)$ is nul. Ook in de afleiding R² wordt verondersteld dat $covar(detmodel(t|\theta),N(t))$ is nul.

Minimalisatie van de variantie van de $N(t)$ in (1) is dus niet hetzelfde als de maximalisatie van de EVP of R². Beide maten nemen toe bij een positieve correlatie van $N(t)$ met het deterministische modeldeel $detmodel$ . Dit is ongewenst. Het principe van een juiste tijdreeksmodellering moet juist zijn, met toepassing van het uitgebreide ruismodel, te bewerkstelligen dat de N(t) niet gecorreleerd is met het deterministische modeldeel, want een correlatie/covariantie geeft onzuivere schattingen van relaties met hun betrouwbaarheidsintervallen. De EVP en R² passen bij lineaire regressie met onderling onafhankelijk meetwaarden, maar zijn geen bruikbare maten voor de modelbeoordeling van tijdreeksmodellen.

De R² of EVP>=0,7 is daarbij een belangrijk selectiecriterium voor het bepalen van betrouwbare PIRFICT-modellen. Toepassing van dit selectiecriterium bij PIRFICT betekent dat in de orde van 50% van een steekproef van meetreeksen van peilfilters wordt weggeselecteerd. Bij de Box-Jenkins-methode is deze selectie niet aan de orde én bij de modelbeoordeling wordt geverifieerd of er aan de vereiste modelveronderstellingen wordt voldaan.

Is EVP percentage verklaarde variantie?

Icastat

Laatst toegevoegd

Categorieën